Première identité remarquable - Démonstration géométrique

Propriété Première identité remarquable

Soit \(a\in \mathbb{R}\) et soit \(b\in \mathbb{R}\).
On a \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Démonstration Dans le cas où \(\boldsymbol a\) et \(\boldsymbol b\) sont des réels positifs

On considère un "grand" carré dont le côté mesure \(a+b\) unités de longueur.

• Détermination de l'aire du grand carré - première méthode
  

On sait que l'aire d'un carré est le produit de son côté par son côté.
Comme le côté du grand carré mesure \(a+b\) unités de longueur, son aire est :
\((a+b)\times(a+b)\) unités d'aire, c'est-à-dire \((a+b)^2\).

• Détermination de l'aire du grand carré - seconde méthode
  

On découpe le grand carré ainsi :

• le carré bleu a un côté qui mesure \(a\) unités de longueur et donc son aire vaut \(a^2\) ;
  
• le carré orange a un côté qui mesure \(b\) unités de longueurs et donc son aire vaut \(b^2\) ;
  
• les deux rectangles verts ont les mêmes dimensions et ont donc la même aire qui vaut \(a\times b\).
  

L'aire du grand carré s'obtient en additionnant l'aire du carré bleu avec celle du carré orange et avec les deux aires identiques des rectangles verts.
Donc l'aire du grand carré dont le côté mesure \(a+b\) (unités de longueur) vaut :\(a^2+a\times b+a\times b+b^2=a^2+2ab+b^2\).

On vient de déterminer de deux manières différentes l'aire du grand carré. Elles sont donc égales.
Par conséquent, on obtient : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).